最近写一个需求用到了优先队列和二叉堆的相关知识，借此机会梳理了一些二叉堆的相关知识分享给大家。

什么是优先队列
优先队列是数据结构中的基础概念，与队列先进先出（FIFO）的出队顺序不同的是 ，它的出队顺序与元素的优先级相关。例如 React 的时间分片（React Fiber），它将渲染任务分了优先级，出队的顺序与任务的“重要程度”存在关系，那么满足这种情况的数据结构就是 优先队列 。

优先队列的操作
.插入：在优先队列中插入元素，并使队列“有序”
.删除最大/最小值：删除并返回最大/最小的元素，并使队列“有序”
.查找最大/最小关键字：查找最大/最小的值
优先队列的实现比较

优先队列可以由以上多种方式实现，而优先队列的主要操作是插入和删除，其中二叉搜索树和二叉堆这两项操作的时间复杂度均为 logn ,但二叉树在多次删除之后容易导致树的倾斜，同时查找成本也高于二叉堆，所以最终二叉堆是比较符合实现优先队列的数据结构。

二叉堆
在二叉堆中数组中，要保证每个元素都小于（大于）或等于另外两个特定位置的元素。例如下图的树中，父节点总是小于或等于子节点。

对于二叉堆有如下性质：
.节点 k 的父节点下标为 k / 2（向下取整）

.已某节点为根节点的子树，该节点是这颗树的极值

二叉堆的操作
插入
二叉堆的插入非常简单，只需要在二叉堆的最后添加要插入的内容，并将其“上浮”到正确位置。
尝试在上面的二叉堆中插入新元素 9，过程如下：

在尾部插入元素 9，与父节点进行对比，有序性被破坏，与父元素替换位置。

替换成功后，继续上一轮操作，与父节点进行对比，仍然无法满足有序性，继续调换位置。

再次替换后符合。

程序框架

function push {
  * 在堆尾部添加元素
  * 执行上浮循环
    * 与父元素对比大小，将较大的放在父节点位置

  return minItem
}

实现

function push(heap: Heap, node: Node): void {
  const index = heap.length;
  heap.push(node); // 在堆尾部添加元素
  siftUp(heap, node, index); // 进行上浮操作
}

function siftUp(heap, node, i) {
  let index = i;
  while (true) {
    const parentIndex = (index - 1) >>> 1; // 父节点位置： parentIndex = childIndex / 2
    const parent = heap[parentIndex];
    if (parent !== undefined && compare(parent, node) > 0) {
      // The parent is larger. Swap positions.
      heap[parentIndex] = node;
      heap[index] = parent;
      index = parentIndex;
    } else {
      // The parent is smaller. Exit.
      return;
    }
  }
}

删除
取出根节点的值对比插入稍微复杂一点，归纳起来可以分为三步：
1.取出根节点的值
2.将最后一个元素与根节点进行替换，并删除最后一个元素
3.下沉

取出根节点。

将最后一个元素与根节点调换，并删除。对比发现有序性被破坏，进行对调。

完成删除。

程序框架

function pop {
  * 设定 minItem 保存根节点
  * 取出最后一个节点与根节点替换，并删除最后一个节点
  * 执行下沉循环
    * 将根元素与左右子节点对比,挑选较小的与父节点替换位置

  return minItem
}

实现

export function pop(heap: Heap): Node | null {
  const first = heap[0]; // 取出根节点
  if (first !== undefined) {
    const last = heap.pop(); // 取出最后一位元素，并删除
    if (last !== first) {
      heap[0] = last; // 与根节点对调
      siftDown(heap, last, 0); // 下沉
    }
    return first;
  } else {
    return null;
  }
}

function siftDown(heap, node, i) {
  let index = i;
  const length = heap.length;
  while (index < length) {
    const leftIndex = (index + 1) * 2 - 1;
    const left = heap[leftIndex];
    const rightIndex = leftIndex + 1;
    const right = heap[rightIndex];

    // If the left or right node is smaller, swap with the smaller of those.
    // 寻找左右儿子较小的那一个替换
    if (left !== undefined && compare(left, node) < 0) { //左子节点小于根节点
      if (right !== undefined && compare(right, left) < 0) {
        heap[index] = right;
        heap[rightIndex] = node;
        index = rightIndex;
      } else {
        heap[index] = left;
        heap[leftIndex] = node;
        index = leftIndex;
      }
    } else if (right !== undefined && compare(right, node) < 0) { // 左子节点大于根节点，右子节点小于根节点
      heap[index] = right;
      heap[rightIndex] = node;
      index = rightIndex;
    } else {
      // Neither child is smaller. Exit.
      return;
    }
  }
}

以下是 react 源码中 scheduler/src/SchedulerMinHeap.js 关于最小堆的完整实现：

/**
 * Copyright (c) Facebook, Inc. and its affiliates.
 *
 * This source code is licensed under the MIT license found in the
 * LICENSE file in the root directory of this source tree.
 *
 * @flow strict
 */

// 定义最小堆极其元素，其中 sortIndex 为最小堆对比的 key，若 sortIndex 相同，则对比 id
type Heap = Array<Node>;
type Node = {|
  id: number,
  sortIndex: number,
|};

// 入队操作，在入队完成之后进行“上浮”
export function push(heap: Heap, node: Node): void {
  const index = heap.length;
  heap.push(node);
  siftUp(heap, node, index);
}

// 查找最大值
export function peek(heap: Heap): Node | null {
  const first = heap[0];
  return first === undefined ? null : first;
}

// 删除并返回最大值
export function pop(heap: Heap): Node | null {
  const first = heap[0]; // 取出根节点（哨兵）
  if (first !== undefined) {
    const last = heap.pop(); // 取出最后一位元素，并删除
    if (last !== first) { // 头尾并没有对撞
      heap[0] = last; // 与根节点对调
      siftDown(heap, last, 0); // 下沉
    }
    return first;
  } else {
    return null;
  }
}

// 上浮，调整树结构
function siftUp(heap, node, i) {
  let index = i;
  while (true) {
    const parentIndex = (index - 1) >>> 1; // 父节点位置： parentIndex = childIndex / 2，此处使用位操作，右移一位
    const parent = heap[parentIndex];
    if (parent !== undefined && compare(parent, node) > 0) { // 对比父节点和子元素的大小
      // The parent is larger. Swap positions.
      heap[parentIndex] = node; // 若父节点较大，则更换位置
      heap[index] = parent;
      index = parentIndex;
    } else {
      // The parent is smaller. Exit.
      return;
    }
  }
}

// 下沉，调整树结构
function siftDown(heap, node, i) {
  let index = i;
  const length = heap.length;
  while (index < length) {
    const leftIndex = (index + 1) * 2 - 1;
    const left = heap[leftIndex];
    const rightIndex = leftIndex + 1;
    const right = heap[rightIndex];

    // If the left or right node is smaller, swap with the smaller of those.
    // 寻找左右儿子较小的那一个替换
    if (left !== undefined && compare(left, node) < 0) {
      if (right !== undefined && compare(right, left) < 0) { // 左子节点小于根节点
        heap[index] = right;
        heap[rightIndex] = node;
        index = rightIndex;
      } else {
        heap[index] = left;
        heap[leftIndex] = node;
        index = leftIndex;
      }
    } else if (right !== undefined && compare(right, node) < 0) { // 左子节点大于根节点，右子节点小于根节点
      heap[index] = right;
      heap[rightIndex] = node;
      index = rightIndex;
    } else {
      // Neither child is smaller. Exit.
      return;
    }
  }
}

function compare(a, b) {
  // Compare sort index first, then task id.
  const diff = a.sortIndex - b.sortIndex;
  return diff !== 0 ? diff : a.id - b.id;
}

堆排序
利用最大/最小堆的特性，我们很容易就能实现对数组的排序，重复执行 pop 就能进行升序排列，如果要降序，使用最大堆即可，该操作时间复杂度为 nlogn 。

多叉堆
为了追求更优的时间复杂度，我们可以将二叉堆改为多叉堆实现，下图为一个三叉堆：

与二叉堆不同的是对于含有 N 个元素的 d 叉堆（通常情况下 d >= 2），随着 d 的增加，树高 K = logdN 的斜率会下降，然而 d 越大，删除操作的成本会更高。所以子元素不是越多越好，通常情况下三叉堆和四叉堆的应用会比较常见。

在libev中有这么一段注释 https://github.com/enki/libev/blob/master/ev.c#L2227，他提及了四叉树相比二叉堆来说缓存更加友好。 根据benchmark，在 50000+ 个 watchers 的场景下，四叉树会有 5% 的性能优势。

/*
 * at the moment we allow libev the luxury of two heaps,
 * a small-code-size 2-heap one and a ~1.5kb larger 4-heap
 * which is more cache-efficient.
 * the difference is about 5% with 50000+ watchers.
 */

同样 Go 语言中的定时器的 timersBucket 的数据结构也采用了最小四叉堆。

结语
多叉堆，例如四叉堆更加适合数据量大，对缓存要求友好对场景。二叉堆适用数据量比较小且频繁插入和删除的场景。通常情况下二叉堆可以满足大部分情况下的需求，如果编写底层代码，并且对性能有更高的要求，那么可以考虑多叉堆实现优先队列。